Κρυπτογραφικές ιδιότητες των γεννητριών ακολουθιών De Bruijn

Abstract

Οι δυαδικές ακολουθίες De Bruijn αποτελούν μια σημαντική οικογένεια ακολουθιών με πάρα πολλές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένης της κρυπτογραφίας. Σε κρυπτογραφικές εφαρμογές, πρόκειται για ακολουθίες που παράγονται από μη γραμμικούς καταχωρητές ολίσθησης με ανάδραση (NLFSRs) μεγέθους n, οποίοι κατά τη λειτουργία τους «διατρέχουν» όλες τις πιθανές καταστάσεις (maximal length NLFSRs). Οι NLFSRs εφαρμόζονται σε κρυπταλγορίθμους ροής (stream ciphers), οι οποίοι εμφανίζουν ιδιότητες που τους επιτρέπουν να χρησιμοποιηθούν σε εφαρμογές με απαιτήσεις για χαμηλή κατανάλωση ενέργειας, και για μικρή επιφάνεια ανάπτυξης υλικού – π.χ. σε IoT εφαρμογές. Οι συναρτήσεις ανάδρασης εκείνων των NLFSRs που παράγουν ακολουθίες De Bruijn δεν έχουν μελετηθεί μέχρι τώρα εκτενώς στην ερευνητική κοινότητα. Για παράδειγμα, δεν είναι ακόμα γνωστή συγκεκριμένη μεθοδολογία κατασκευής ΝLFSRs που παράγει εγγυημένα τέτοιες ακολουθίες μεγίστης περιόδου. Σκοπός της διατριβής είναι ο προσδιορισμός κρυπτογραφικών χαρακτηριστικών - όπως η μη γραμμικότητα, η αλγεβρική ανθεκτικότητα, ανθεκτικότητα στις συσχετίσεις, αλλά και η ύπαρξη γραμμικών δομών - των λογικών συναρτήσεων οι οποίες, όταν αποτελούν συναρτήσεις ανάδρασης ενός NLFSR, παράγουν ακολουθίες De Bruijn. Απώτερος στόχος είναι η διερεύνηση των συσχετίσεων μεταξύ των κρυπτογραφικών αυτών ιδιοτήτων για τις περιπτώσεις συναρτήσεων οι οποίες αντιστοιχούν σε ακολουθίες De Bruijn που παράγονται η μία από την άλλη μέσω γνωστών μαθηματικών τεχνικών. Στο πλαίσιο της διατριβής, με ανάπτυξη και αξιοποίηση κατάλληλων εφαρμογών λογισμικού, μελετήθηκαν τυχαία παραγόμενες ακολουθίες De Bruijn ως προς τις τιμές των κρυπτογραφικών ιδιοτήτων των αντίστοιχων συναρτήσεών τους, ενώ επίσης μελετήθηκαν το πώς «αντανακλώνται» οι κρυπτογραφικές αυτές ιδιότητες σε συναρτήσεις που αντιστοιχούν σε άλλες De Bruijn ακολουθίες, οι οποίες προκύπτουν με κάποια μαθηματική τεχνική από μία ή δύο άλλες αρχικές ακολουθίες De Bruijn. Τα πειραματικά αποτελέσματα καταδεικνύουν ότι είναι πολύ δύσκολο να βρεθεί συνάρτηση που να παράγει ακολουθία De Bruijn και να ικανοποιεί συγκεκριμένα κρυπτογραφικά κριτήρια (όπως η ανθεκτικότητα σε συσχετίσεις). Ωστόσο, τα αποτελέσματά μας δείχνουν ότι είναι εφικτή, αξιοποιώντας τις γνωστές μαθηματικές τεχνικές κατασκευής ακολουθιών De Bruijn, η βελτίωση συγκεκριμένων κρυπτογραφικών κριτηρίων συναρτήσεων που παράγουν ακολουθίες De Bruijn.